Método para el cálculo de pi

Otros posts serán más animados... sorry.

El siguiente procedimiento ilustra un nuevo método para efectuar el càlculo de pi. Se basa en aproximar el área de un una serie de circunferencias superpuestas de idéntico diámetro con sus centros alineados en una misma línea recta, al área del rectángulo que los circunscribe.

Los pasos generales del algoritmo son los siguientes:

• Cálculo del área sobresaliente en dos circunferencias solapadas
• Aproximación del área a la de un rectángulo

1.- Cálculo del área sobresaliente en dos circunferencias solapadas

Se parte de dos circunferencias solapadas, separadas por una distancia O₁O₂, de idéntico radio r, tal y como se muestra en el esquema siguiente.

Se debe calcular el área ABC de la sección sombreada. Se van a utilizar las fórmulas trigonométricas básicas siguientes:

A partir de estas ecuaciones obtiene de forma inmediata que:

Por otro lado, el sector circular O₁AD tiene un área de . Adicionalmente el triángulo O₁AO, tiene un área de . A partir de aquí puede calcularse que el área de la sección ODA es .

A partir de aquí puede calcularse ya el área de la media luna que sobresale de la superposición de las circunferencias:

A partir de aquí puede despejarse obteniendo la siguiente expresión:

[1]

Expresión que resulta no muy atractiva, la verdad.

2.- Aproximación del área a la de un rectángulo

La siguiente parte del algoritmo trata de aproximar el área de un rectángulo a la de un conjunto de circunferencias solapadas. Se parte de un rectángulo de longitud l y anchura 2r. Se circunscriben en él n circunferencias como se muestra en el siguiente esquema:

Puede comprobarse que . Así, el área del rectángulo será: ECS10.. A partir de aquí puede extraerse una nueva fórmula para expresar el área de las circunferencias solapadas, ya que . Despejando puede deducirse que .

Además, del esquema anterior puede extraerse que ,

igualando por último r=1.

Sustituyendo estas expresiones en [1] se obtiene finalmente:

En la siguiente tabla puede verse cómo el valor calculado con la expresión final converge hacia pi según se aumenta el número de circunferencias n. Se ha tomado un valor constante de l=10.

n Pi calculado Precision. (Pi calculado-Pi)/Pi
10^1 4.01548657665 0.27816907518
10^2 3.22453713085 0.02640204712
10^3 3.14981962467 0.00261872623
10^4 3.14241466265 0.00026165361
10^5 3.1416748476 0.00002616317
10^6 3.14160087293 0.0000026163
10^7 3.14159347552 0.00000026163
10^8 3.14159273578 0.00000002616
10^9 3.14159266181 0.00000000262
10^103.14159265441 0.00000000026
10^113.14159265367 0.00000000003
10^123.14159265359

Para realizar estos cálculos se ha utilizado instacalc, una calculadora online desarrollada por Kalid Azad. Estos cálculos deben ser considerados con prudencia, por un lado por la precisión de la herramienta utilizada y por otro porque es probable que internamente utilice pi para la evaluación de la expresión del arccos. Esto puede falsear los resultados pues se estaría utilizando pi para hallarlo.

La calculadora utilizada puede encontrarse a través del siguiente enlace:

http://instacalc.com/?d=&c=bD0xMHxuPTEwXjh8KGwtMikvKG4tMSl8KGwtMikvKDIqKG4tMSkpfHBpZGF2aWQ9MipSMysyKmFjb3MoUjQpIC8gKDEgcmFkKSsyKnNpbihhY29zKFI0KSpSNCAvICgxIHJhZCkpfHByZWNpc2lvbj0ocGlkYXZpZC1waSkvcGk&s=ssssss&v=0.9

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